Question

19．如图，△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，P是边AC上的一动点，PE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．设AP=x，则能使以点P、C、F为顶点的三角形与以A、P、E为顶点的三角形相似的x=$\frac{75}{34}$或$\frac{75}{41}$．

Answer 1

分析 利用勾股定理列式求出AB，再设AP=a，利用∠A的余弦表示出AE，再求出BE，利用∠B的余弦求出BF，然后求出CF，再根据相似三角形对应边成比例求出$\frac{CF}{PF}$，然后求解即可．

解答 解：在∠C=90°，BC=4，AC=3，
由勾股定理得，AB=5，
设AP=x，
则AE=AP•cosA=$\frac{3}{5}$x，
所以，BE=5-$\frac{3}{5}$x，
BF=BE•cosB=$\frac{4}{5}$×（5-$\frac{3}{5}$x）=4-$\frac{12}{25}$x，
所以，CF=4-（4-$\frac{12}{25}$x）=$\frac{12}{25}$x，
∵△PCF与△APE相似，
∴$\frac{PC}{CF}$=$\frac{AE}{PE}$，或$\frac{PC}{CF}$=$\frac{PE}{AE}$，
即$\frac{3-x}{\frac{12}{25}x}$=$\frac{3}{4}$或$\frac{3-x}{\frac{12}{25}x}$=$\frac{4}{3}$，
解得x=$\frac{75}{34}$或x=$\frac{75}{41}$，
故答案为：$\frac{75}{34}$或$\frac{75}{41}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，难点在于（2）利用锐角三角函数表示出相应的边并分情况讨论．