Question

10．（1）如图1，OP是∠MON的平分线，请利用该图形，借助直尺和圆规画一组已OP所在直线为对称轴且一条边在OP上的全等三角形，并用符号表示出来；（不写作法，保留作图痕迹，不要证明）
（2）请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
①如图2：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD平分∠ACB，试证明：BC=AC+AD；
②如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AC=17，AD=9，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）在OP上任意取一点A，在OM、ON上分别截取OC，OB，使得OC=OB，则有，△AOB≌△AOC；
（2）如图2，截取CE=CA，连接DE，只要证明△CAD≌△CED，DE=EB即可解决问题；、
（3）截取AE=AD，连接CE，作CH⊥AB，垂足为点H，设EH=HB=x，首先证明△ADC≌△AEC，在Rt△ACH和Rt△CEH中利用勾股定理可得17²-（9+x）²=10²-x²，求出x即可解决问题．

解答 （1）解：如图1，△AOB≌△AOC．


（2）证明：如图2，截取CE=CA，连接DE，

∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ECD，
在△ACD与△ECD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=CE}\\{∠ACD=∠ECD}\\{CD=CD}\end{array}\right.$，
∴△CAD≌△CED，
∴AD=DE，∠A=∠CED=60°，AC=CE，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴∠B=∠EDB=30°，
∴DE=EB=AD，
∴BC=AC+AD；    

（3）解：截取AE=AD，连接CE，作CH⊥AB，垂足为点H，

同理△ADC≌△AEC，
∴AE=AD=9，CD=CE=10=CB，
∵CH⊥AB，CE=CB，
∴EH=HB，
设EH=HB=x，在Rt△ACH和Rt△CEH中
17²-（9+x）²=10²-x²，
解得：x=6，
∴AB=21．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．