题目内容

3．抛物线L：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的顶点为原点，且经过点A（2$\sqrt{a}$，$\frac{1}{4}$），直线y=kx+1与y轴交于点F，与抛物线L交于B（x1，y1）、C（x2，y2）两点（其中x1＜x2）．有直线l：y=-1，垂足为M，连接AF．
（1）请直线写出抛物线L的解析式，并探究AM与AF的数量关系．
（2）求证：无论k为何值，直线l总是与以BC为直径的圆相切；
（3）将抛物线L和点F都向右平移$\frac{3}{2}$个单位后，得到抛物线L1和点F1，P是抛物线L1上的一动点，过点P作PK⊥l于点K，连接PA，求|PA-PK|的最大值，并求出此时点P的坐标．

分析 （1）由y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的顶点为原点，推出b=c=0，再把点A代入解析式即可解决问题．
（2）求出线段BC的长，圆心的坐标即可解决问题．
（3）首先证明PF1=PK，直线AF1与抛物线交于点P，此时|PA-PK|的最大，由此即可解决问题．

解答 （1）解：∵y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的顶点为原点，
∴b=c=0，
∴抛物线解析式为y=ax2，把点A（2$\sqrt{a}$，$\frac{1}{4}$）代入得到a=$±\frac{1}{4}$，
∵a＞0，
∴a=$\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$x2．
∵A（1，$\frac{1}{4}$），F（0，1），
∴AF=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{4}-1）^{2}}$=$\frac{5}{4}$，
∵AM=1+$\frac{1}{4}$=$\frac{5}{4}$，
∴AM=AF．
（2）证明：由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$消去y得到：x2-4kx-4=0．
∴x1+x2=4k，x1x2=-4，y1+y2=4k2+2，y1y2=1，
设边长中点为M，则点M坐标（2k，2k2+1），
BC=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{16{k}^{2}+16+16{k}^{4}+16{k}^{2}+4-4}$=4k2+4，
∴⊙M的半径=2k2+2，
∵点M到直线y=-1的距离=2k2+1+1=2k2+2，
∴点M到直线y=-1的距离等于半径，
∴无论k为何值，直线l总是与以BC为直径的圆相切；
（3）如图，设Q（m，$\frac{1}{4}$m2）为抛物线y=$\frac{1}{4}$x2上任意一点，作QH⊥直线y=-1于H，
则QF=$\sqrt{{m}^{2}+（1-\frac{1}{4}{m}^{2}）^{2}}$=$\frac{1}{4}$m2+1，QH=$\frac{1}{4}$m2+1，
∴QF=QH，
同理可得PK=PF1，
由题意抛物线L1的解析式为y=$\frac{1}{4}$（x-$\frac{3}{2}$）2，点F1（$\frac{3}{2}$，1），直线AF1与抛物线交于点P，此时|PA-PK|的最大，
∵|PA-PK|=|PA-PF1|=AF1=$\sqrt{（1-\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{1}{4}-1）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$．
∴|PA-PK|的最大值为$\frac{\sqrt{13}}{4}$．

点评 本题考查二次函数综合题、圆、两点间距离公式、一元二次方程、根与系数关系等知识，解题的关键是熟练掌握根与系数关系，学会利用参数解决问题，根据两边之差小于第三边确定点P位置，属于中考压轴题．

练习册系列答案
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（1）求l1的解析式，并写出它的对称轴和顶点坐标；
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（1）①抛物线y=x2-2x+1的伴随抛物线的解析式是y=-x2+1；
②抛物线y=-x2+3x-2的伴随抛物线的解析式是y=x2-2；
③抛物线y=2x2-8x+4的伴随抛物线的解析式是y=-2x2+4．
（2）抛物线y=ax2+bx+c的伴随抛物线的解析式是-ax2+c．
（3）设抛物线y=2x2-8x+4的顶点为P，与x轴的两个交点分别为A，B（A在B的左边）；它的伴随抛物线的顶点为Q，与x轴的两个交点分别为C，D（C在D的左边）．
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②设点P的横坐标记为xP，点Q的横坐标记为xQ，若在x轴上有一动点M（x，0），且xQ＜x＜xP，过M作一条垂直于x轴的直线，与两条抛物线分别交于E，F两点，试问是否存在EF=2的情形？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

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