题目内容
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-1，$\frac{3}{4}$），B（2，0）在抛物线11：y=ax2+bx+1（a，b为常数，且a≠0）上，直线12经过抛物线11的顶点且与y轴垂直，垂足为点D．（1）求l1的解析式，并写出它的对称轴和顶点坐标；
（2）设l1上有一动点P从点A出发，沿抛物线从左向右运动，点P的纵坐标yp也随之以每秒2个单位长的速度变化，设点P运动的时间为t（秒），连接OP，以线段OP为直径作⊙F．
①求yp关于t的表达式，并写出t的取值范围；
②当点P在起点A处时，直线l2与⊙F的位置关系是相切，在点P从点A运动到点D的过程中，直线12与⊙F是否始终保持着上述的位置关系？请说明理由；
（3）在（2）条件下，当点P开始从点A出发，沿抛物线从左到右运动时，直线l2同时向下平移，垂足D的纵坐标yD以每秒3个单位长度速度变化，当直线l2与⊙F相交时，求t的取值范围．
分析 （1）把A（-1，$\frac{3}{4}$），B（2，0）两点代入抛物线y=ax2+bx+1解析式，列方程组即可解决问题．
（2）①分两种情形讨论①0≤t≤$\frac{1}{8}$，②t＞$\frac{1}{8}$，分别求解即可．②当点P在起点A处时，直线l2与⊙F的位置关系是相切．结论：在点P从点A运动到点D的过程中，直线12与⊙F始终保持相切，只要求出圆心到直线y=1的距离，以及圆的半径即可判断．
（3）刚开始时直线l2与⊙F是相切的，接下来是相交的，只要求出第二次相切时的时间即可解决问题．
解答 解：（1）把点A（-1，$\frac{3}{4}$），B（2，0）代入抛物线11：y=ax2+bx+1中得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+1=\frac{3}{4}}\\{4a+2b+1=0}\end{array}\right.$ 解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=0}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{1}{4}$x2+1 则对称轴为：直线x=0，顶点为（0，1）；
（2）①由题意1-$\frac{3}{4}$=2t解得t=$\frac{1}{8}$，
∴0≤t$≤\frac{1}{8}$时，yP=$\frac{3}{4}$+2t，
t＞$\frac{1}{8}$时，yP=1-2（t-$\frac{1}{8}$）=$\frac{5}{4}$-2t．
②当点P在起点A处时，OA=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{5}{4}$，
∴⊙F的半径为$\frac{5}{8}$，
∵点F坐标（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{8}$），
∴点F到直线y=1的距离为$\frac{8}{5}$，
∴点F到直线y=1的距离等于⊙F的半径，
∴直线l2与⊙F相切，
故答案为相切．
结论：在点P从点A运动到点D的过程中，直线12与⊙F始终保持相切．
理由：设点P坐标（m，-$\frac{1}{4}$m2+1），则点F坐标（$\frac{1}{2}$m，-$\frac{1}{8}$m2+$\frac{1}{2}$），
∵OP=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{4}{m}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$m2+1，
∴⊙F的半径=$\frac{1}{8}$m2+$\frac{1}{2}$，
∵点F到直线y=1的距离为1-（-$\frac{1}{8}$m2+$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{8}$m2+$\frac{1}{2}$，
∴点F到直线y=1的距离等于⊙F的半径，
∴在点P从点A运动到点D的过程中，直线12与⊙F始终保持相切．
（3）设点P坐标（m，-$\frac{1}{4}$m2+1），则点F坐标（$\frac{1}{2}$m，-$\frac{1}{8}$m2+$\frac{1}{2}$），
∵OP=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{4}{m}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$m2+1，
∴⊙F的半径=$\frac{1}{8}$m2+$\frac{1}{2}$，
∴直线y=-$\frac{1}{8}$m2+$\frac{1}{2}$-（$\frac{1}{8}$m2+$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$m2与⊙F相切，
∵t＞$\frac{1}{8}$时，-$\frac{1}{4}$m2+1=1-2（t-$\frac{1}{8}$），
∴-$\frac{1}{4}$m2=-2t+$\frac{1}{4}$，
当1-3t=-2t+$\frac{1}{4}$时直线l2与⊙F相切，解得t=$\frac{3}{4}$，
∴当0＜t＜$\frac{3}{4}$时，⊙F与直线l2相交．
点评 本题考查二次函数综合题、直线与圆的位置关系、两点间距离公式、勾股定理等知识，解题的关键是两点间距离公式的应用，把问题转化为方程去思考，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
| A． | x2-2是二次二项式 | |
| B． | 单项式-x2的系数是1 | |
| C． | 使式子$\sqrt{x+2}$有意义的x的取值范围是x＞-2 | |
| D． | 若分式$\frac{{a}^{2}-1}{a+1}$的值等于0，则a=±1 |
抛物线L：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的顶点为原点，且经过点A（2$\sqrt{a}$，$\frac{1}{4}$），直线y=kx+1与y轴交于点F，与抛物线L交于B（x1，y1）、C（x2，y2）两点（其中x1＜x2）．有直线l：y=-1，垂足为M，连接AF．
如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．