Question

12．在求1+3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶+3⁷+3⁸的值时，张红发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的3倍，于是她假设：S=1+3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶+3⁷+3⁸①，
然后在①式的两边都乘以3，得：3S=3+3²+3³+3⁴+3⁵+3⁶+3⁷+3⁸+3⁹②，
②-①得，3S-S=3⁹-1，即2S=3⁹-1，
所以S=$\frac{{3}^{9}-1}{2}$．
得出答案后，爱动脑筋的张红想：如果把“3”换成字母m（m≠0且m≠1），能否求出1+m+m²+m³+m⁴+…+m²⁰¹⁶的值？如能求出，其正确答案是$\frac{{m}^{2017}-1}{m-1}$（m≠0且m≠1）．

Answer 1

分析 仿照例子，将3换成m，设S=1+m+m²+m³+m⁴+…+m²⁰¹⁶（m≠0且m≠1），则有mS=m+m²+m³+m⁴+…+m²⁰¹⁷，二者做差后两边同时除以m-1，即可得出结论．

解答 解：设S=1+m+m²+m³+m⁴+…+m²⁰¹⁶（m≠0且m≠1）①，
将①×m得：mS=m+m²+m³+m⁴+…+m²⁰¹⁷②，
由②-①得：mS-S=m²⁰¹⁷-1，即S=$\frac{{m}^{2017}-1}{m-1}$，
∴1+m+m²+m³+m⁴+…+m²⁰¹⁶=$\frac{{m}^{2017}-1}{m-1}$（m≠0且m≠1）．
故答案为：$\frac{{m}^{2017}-1}{m-1}$（m≠0且m≠1）．

点评 本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是仿照例子计算1+m+m²+m³+m⁴+…+m²⁰¹⁶．本题属于基础题，难度不大，本题其实是等比数列的求和公式，但初中未接触过该方面的知识，需要借助于错位相减法来求出结论，此题中尤其要注意m的取值范围．