Question

如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径圆弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=

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AB中，一定正确的是（　　）

• A、①②③
• B、①②④
• C、①③④
• D、②③④

Answer 1

考点：作图—基本作图,线段垂直平分线的性质

专题：

分析：（1）由作图可得出直线ED为线段BC的中垂线，即可得出①ED⊥BC正确；
（2）由直角三角形斜边中线相等可得AE=BE，∠A=∠EBA；故②正确；
（3）利用假设法证明得出△ABE为等边三角形与△ABE为等腰三角形矛盾．故③错误；
（4）利用ED是△ABC的中位线可得ED=

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AB，故④正确．

解答：解：由题意可得直线ED为线段BC的中垂线，
∴ED⊥BC；故①正确；
∵∠ABC=90°，ED⊥BC；
∴DE∥AB，
∵点D是BC边的中点，
∴点E为线段AC的中点，
∴AE=BE，
∴∠A=∠EBA；故②正确；
如果EB平分∠AED；
∵∠A=∠EBA，DE∥AB，
∴∠A=∠EBA=∠AEB，
∴△ABE为等边三角形．
∵△ABE为等腰三角形．故③错误；
∵点D是BC边的中点，点E为线段AC的中点，
∴ED是△ABC的中位线，
∴ED=

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AB，故④正确．
故选：B．

点评：本题主要考查了基本作图及线段的垂直平分线，解题的关键是确定ED是为线段BC的中垂线．