Question

19．一根钢筋三脚架的三边分别为20cm，50cm，60cm，现要做一个与其相似的钢筋三脚架，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，则不同的截法有（　　）

• A． 一种
• B． 两种
• C． 三种
• D． 五种

Answer 1

分析 当20cm为一边，设截取的另外两边长分别为xcm，ycm，若20为最长边，则当$\frac{20}{x}$=$\frac{50}{y}$=$\frac{60}{20}$时，两三角形相似，解得x=$\frac{20}{3}$，y=$\frac{50}{3}$，由于x+y=$\frac{70}{3}$，于是可把50cm截取两段或把60cm截取两段；当20为与50的对应边，则当$\frac{20}{x}$=$\frac{50}{20}$=$\frac{60}{y}$，两三角形相似，解得x=8，y=24，于是可把50cm截取两段或把60cm截取两段；当取50cm为一边，设截取的另外两边长分别为acm，acm，则当$\frac{20}{a}$=$\frac{50}{b}$=$\frac{60}{50}$时两三角形相似，解得a=$\frac{50}{3}$，b=$\frac{125}{3}$，于是可把60cm截取两段．

解答 解：取20cm为一边，设截取的另外两边长分别为xcm，ycm，
当$\frac{20}{x}$=$\frac{50}{y}$=$\frac{60}{20}$，解得x=$\frac{20}{3}$，y=$\frac{50}{3}$，所以x+y=$\frac{70}{3}$，则20＜x+y＜50，所以可把50cm截取两段或把60cm截取两段；
当$\frac{20}{x}$=$\frac{50}{20}$=$\frac{60}{y}$，解得x=8，y=24，所以x+y=32，则20＜x+y＜50，所以可把50cm截取两段或把60cm截取两段；
取50cm为一边，设截取的另外两边长分别为acm，acm，
当$\frac{20}{a}$=$\frac{50}{b}$=$\frac{60}{50}$，解得a=$\frac{50}{3}$，b=$\frac{125}{3}$，所以a+b=$\frac{175}{3}$，则50＜a+b＜60，所以可把60cm截取两段．
共有5种可能的截法．

点评 本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似．本题的关键是运用分类讨论的思想解决问题．