Question

11．如图，⊙O的半径为3cm，A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD与BC相交于点E，AE=2cm，ED=2.5cm．
（1）求AB的长．
（2）求$\widehat{AB}$（劣弧）的度数．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理可得∠ACB=∠ABC=∠D，再利用三角形相似△ABD∽△AEB，即可得出答案；
（2）连接AO，BO，根据OA=OB=3cm，由（1）证得AB=3cm，得到△ABO是等边三角形，于是求得∠AOB=60°，即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=∠D，
∵∠BAD=∠BAD，
∴△ABD∽△AEB，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}$，
∴AB²=2×4.5=9，
∴AB=3cm；

（2）连接AO，BO，
∵⊙O的半径为3cm，
∴OA=OB=3cm，
由（1）证得AB=3cm，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴$\widehat{AB}$（劣弧）的度数是60°．

点评 此题主要考查了圆周角定理以及相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定，根据题意得出△ABD∽△AEB是解决问题的关键．