Question

20．已知正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°，若AE•AF=$\frac{40\sqrt{2}}{3}$，则EF的长为$\frac{10}{3}$．

Answer 1

分析 如图将△ABE绕点A顺时针旋转90°得到△ADM，作FH⊥AE于H．首先证明△FAE≌△FAM，推出EF=FM，S_△FAE=S_△FAM，由FH⊥AE，∠FAH=45°，推出FH=AF•sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AF，由S_△AEF=$\frac{1}{2}$•AE•FH=$\frac{1}{2}$•AE•$\frac{\sqrt{2}}{2}$AF=$\frac{\sqrt{2}}{4}$•AE•AF=$\frac{20}{3}$，由$\frac{1}{2}$•EF•AD=$\frac{20}{3}$，即可推出EF=$\frac{10}{3}$．

解答 解：如图将△ABE绕点A顺时针旋转90°得到△ADM，作FH⊥AE于H．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠MAD=45°，
∴∠FAE=∠FAM，
在△FAE和△FAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{FA=FA}\\{∠FAE=∠FAM}\\{AE=AM}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△FAM，
∴EF=FM，S_△FAE=S_△FAM，
∵FH⊥AE，∠FAH=45°，
∴FH=AF•sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AF，
∵S_△AEF=$\frac{1}{2}$•AE•FH=$\frac{1}{2}$•AE•$\frac{\sqrt{2}}{2}$AF=$\frac{\sqrt{2}}{4}$•AE•AF=$\frac{20}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$•EF•AD=$\frac{20}{3}$，
∴EF=$\frac{10}{3}$
故答案为$\frac{10}{3}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．