题目内容

（1）如图1、图2，点P是⊙O外一点，作直线OP，交⊙O于点M、N，则有结论：①点M是点P到⊙O的最近点；②点N是点P到⊙O的最远点．
请你从①和②中选择一个进行证明．
（注：图1和图2中的虚线为辅助线，可以直接利用）
（2）如图，已知，点A、B分别是直角∠XOY的两边上的动点，并且线段AB=4，如果点T是线段AB的中点，则线段TO的长等于
 
，所以，当点A和B在直角∠XOY的两边上运动时，点O一定在以点
 
为圆心，以线段
 
为直径的圆上．
（3）如图，△ABC的等边三角形，AB=4，直角∠XOY的两边OX，OY分别经过点A和点B（点O与点A、点B都不重合），连接OC，求OC的最大值与最小值．
（4）如图，在直角坐标系xOy中，点A、B分别是x轴与y轴上的动点，并且线段AB等于4为一定值．以AB为边作正方形ABCD，连接OC，则OC的最大值与最小值的乘积等于
 
．
考点：圆的综合题,线段的性质：两点之间线段最短,直角三角形斜边上的中线,勾股定理
专题：探究型
分析：（1）依据两点之间线段最短即可解决问题．
（2）依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题．
（3）取AB的中点T，连接TO、CT、OC，如图4．先求出OT、CT的长，再依据两点之间线段最短即可解决问题．
（4）取AB的中点T，连接TO、CO、CT，如图5．先求出OT、CT的长，再依据两点之间线段最短即可解决问题．
解答：解：（1）①如图1，
根据两点之间线段最短可得：PO≤PR+OR．
∴PM+MO≤PR+OR．
∵MO=RO，∴PM≤PR．
∴点M是点P到⊙O的最近点．
②如图2，
根据两点之间线段最短可得：PS≤PO+OS．
∵OS=ON，∴PS≤PO+ON，即PS≤PN．
∴点N是点P到⊙O的最远点．

（2）如图3，
∵∠XOY=90°，点T是线段AB的中点，
∴TO=
1
2
AB=2．
∴点O在以点T为圆心，以线段AB为直径的圆上．
故答案为：2、T、AB．

（3）取AB的中点T，连接TO、CT、OC，如图4．
∵∠AOB=90°，点T是线段AB的中点，
∴TO=
1
2
AB=2．
∵△ABC的等边三角形，点T是线段AB的中点，
∴CT⊥AB，AT=BT=2．
∴CT=
CB2-BT2
=
42-22
=2
3
．
根据两点之间线段最短可得：OC≤OT+CT，即OC≤2+2
3
；
CT≤OC+OT，即OC≥CT-OT，也即OC≥2
3
-2．
∴OC的最大值为2+2
3
，OC的最小值为2
3
-2．

（4）取AB的中点T，连接TO、CO、CT，如图5．
∵∠AOB=90°，点T是线段AB的中点，
∴TO=
1
2
AB=2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=4，∠ABC=90°．
∵点T是线段AB的中点，
∴BT=
1
2
AB=2．
∴CT=
CB2+BT2
=
42+22
=2
5
．
根据两点之间线段最短可得：OC≤OT+CT，即OC≤2+2
5
；
CT≤OC+OT，即OC≥CT-OT，也即OC≥2
5
-2．
∴OC的最大值为2+2
5
，OC的最小值为2
5
-2．
∵（2
5
+2）（2
5
-2）=20-4=16．
∴OC的最大值与最小值的乘积等于16．
故答案为：16．
点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、两点之间线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质、正方形的性质等知识，运用“两点之间线段最短”是解决本题的关键．
练习册系列答案
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0
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4
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