Question

如图①，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．
（1）若AD=3，CD=4，则AC=

 

，如果设BD=x，则BC²可以用含有x的代数式表示为

 

，所以，利用△ABC三边的关系可以求得x的值为

 

；
（2）若AD=m，BD=n，CD=p，求证：p²=mn；
（3）应用（2）中的结论解决下面的问题：
如图②，点C在x轴上，⊙C交x轴于点A（-2，0）、D，交y轴于点B（0，4），抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、D三点，能否在第一象限的该抛物线上找到一点P，使△BDP的面积最大？如果能，请求出此时点P的坐标和△BDP的面积；如果不能，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）在Rt△ACD中利用勾股定理计算出AC=5，再证明Rt△BCD∽Rt△BAC，于是利用相似比得BC²=BD•BA=x²+3x；然后由勾股定理得BC²=AB²-AC²，所以x²+3x=（3+x）²-5²，然后解方程可求出x；
（2）证明Rt△ACD∽Rt△CBD，利用相似比即可得到结论；
（3）连结BD，如图②，根据圆周角定理得∠ABD=90°，则可运用（2）中的结论计算出OD=8，则D点坐标为（8，0），接着利用待定系数法求出直线BD的解析式为y=-

1

2

x+4；抛物线解析式为y=-

1

4

x²+

3

2

x+4，作PH⊥x轴交BD于E点，如图，根据二次函数图象上点的坐标特征可设P点坐标为（t，-

1

4

t²+

3

2

t+4），则E点坐标为（t，-

1

2

t+4），根据三角形面积公式和S_△BDP=S_△BEP+S_△DEP计算得到S_△BDP=-t²+8t，然后根据二次函数的最值问题求出使△BDP的面积最大的t的值，从而得到P点坐标和△BDP的面积的最大值．

解答：（1）解：在Rt△ACD中，∵AD=3，CD=4，
∴AC=

AD2+CD2

=5，
∵∠CBD=∠ABC，
∴Rt△BCD∽Rt△BAC，
∴

BC

BA

=

BD

BC

，
∴BC²=BD•BA=x（x+3）=x²+3x；
∵BC²=AB²-AC²，
∴x²+3x=（3+x）²-5²，解得x=

16

3

；
故答案为5，x²+3x，

16

3

；
（2）证明：∵∠ACD+∠DCB=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠A=∠DCB，
∴Rt△ACD∽Rt△CBD，
∴

AD

CD

=

CD

BD

，即

m

p

=

p

n

，
∴p²=mn；
（3）解：能．
连结BD，如图②，
∵AD为直径，
∴∠ABD=90°，
由（2）得OB²=OA•OD，即4²=2OD，解得OD=8，
∴D点坐标为（8，0），
设直线BD的解析式为y=kx+b，
把B（0，4）、D（8，0）代入得

b=4 8k+b=0

，解得

k=- 1 2 b=4

，
∴直线BD的解析式为y=-

1

2

x+4；
设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-8），
把B（0，4）代入得a×2×（-8）=4，解得a=-

1

4

，
∴抛物线解析式为y=-

1

4

（x+2）（x-8）=-

1

4

x²+

3

2

x+4，
作PH⊥x轴交BD于E点，如图，
设P点坐标为（t，-

1

4

t²+

3

2

t+4），则E点坐标为（t，-

1

2

t+4），
∴S_△BDP=S_△BEP+S_△DEP
=

1

2

•t•（-

1

4

t²+

3

2

t+4+

1

2

t-4）+

1

2

•（8-t）•（-

1

4

t²+

3

2

t+4+

1

2

t-4）
=

1

2

•8•（-

1

4

t²+2t）
=-t²+8t
=-（t-4）²+16，
∴当t=4时，△BDP的面积最大，此时P点坐标为（4，6），△BDP的面积的最大值为16．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会灵活应用相似比和勾股定理计算线段的长．