题目内容
如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴与点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°．
（1）求点D的坐标及过O、D、B三点的抛物线的解析式；
（2）若点P是线段MB上一动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交上问中的抛物线于点E．
①连接CE．请求出满足四边形DCEF为平行四边形的点P的坐标；
②连接CE，是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）求点D的坐标及过O、D、B三点的抛物线的解析式；
（2）若点P是线段MB上一动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交上问中的抛物线于点E．
①连接CE．请求出满足四边形DCEF为平行四边形的点P的坐标；
②连接CE，是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）先求出点D的坐标，再把O（0，0）、D（2，6）、B（4，0），代入y=ax2+bx+c，即可求出过O、D、B三点的抛物线的解析式；
（2）先求出AB所在的直线解析式，利用EF=CD列出方程求解即可．
（3）存在．已知O（0，0），B（4，0），设抛物线的交点式，将D点坐标代入求抛物线解析式，由于对顶角∠CFE=∠BFP=45°，故当△BPF与△FCE相似时，分为：∠ECF=∠BPF=90°，∠CEF=∠BPF=90°两种情况，根据等腰直角三角形的性质求P点坐标．
（2）先求出AB所在的直线解析式，利用EF=CD列出方程求解即可．
（3）存在．已知O（0，0），B（4，0），设抛物线的交点式，将D点坐标代入求抛物线解析式，由于对顶角∠CFE=∠BFP=45°，故当△BPF与△FCE相似时，分为：∠ECF=∠BPF=90°，∠CEF=∠BPF=90°两种情况，根据等腰直角三角形的性质求P点坐标．
解答：解：（1）∵B（4，0），
∴OB=4，
∴OM=
OB=2，
∵DM=6，
∴D（2，6），
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
把O（0，0）、D（2，6）、B（4，0），代入得
，
解得
∴过O、D、B三点的抛物线的解析式为y=-
x2+6x．
（2）①∵B（4，0），A（0，4），
∴AB所在的直线解析式为y=-x+4，
∵DM=2，
∴C（2，2），
∴CD=6-2=4，
当EF=6时，满足四边形DCEF为平行四边形，
设点P（a，0），
∴F的纵坐标为-a+4，
E的纵坐标为-
a2+6a．
∴EF=-
a2+6a-（-a+4）=4，解得a=2（舍去）或a=
，
∴P（
，0）．
（3）存在．
∵过O、D、B三点的抛物线的解析式为y=-
x2+6x．由①得C（2，2），设P（x，0），
∴MP=x-2，PB=4-x，
①当∠ECF=∠BPF=90°时（如图1），△BPF与△FCE相似，
过C点作CH⊥EF，
此时，△CHE、△CHF、△PBF为等腰直角三角形，
则PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4-x+2（x-2）=x，
将E（x，x）代入抛物线y=-
x（x-4）中，得x=-
x（x-4），解得x=0或
，即P（
，0），
②当∠CEF=∠BPF=90°时（如图2），此时，△CEF、△BPF为等腰直角三角形，
则PE=MC=2，将E（x，2）代入抛物线y=-
x（x-4）中，得2=-
x（x-4），
解得x=
（舍去）或
，即P（
，0），
所以P（
，0）或（
，0）．
∴OB=4，
∴OM=
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∵DM=6，
∴D（2，6），
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
把O（0，0）、D（2，6）、B（4，0），代入得
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解得
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∴过O、D、B三点的抛物线的解析式为y=-
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（2）①∵B（4，0），A（0，4），
∴AB所在的直线解析式为y=-x+4，
∵DM=2，
∴C（2，2），
∴CD=6-2=4，
当EF=6时，满足四边形DCEF为平行四边形，
设点P（a，0），
∴F的纵坐标为-a+4，
E的纵坐标为-
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∴EF=-
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∴P（
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（3）存在．
∵过O、D、B三点的抛物线的解析式为y=-
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∴MP=x-2，PB=4-x，
①当∠ECF=∠BPF=90°时（如图1），△BPF与△FCE相似，
过C点作CH⊥EF，
此时，△CHE、△CHF、△PBF为等腰直角三角形，
则PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4-x+2（x-2）=x，
将E（x，x）代入抛物线y=-
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②当∠CEF=∠BPF=90°时（如图2），此时，△CEF、△BPF为等腰直角三角形，
则PE=MC=2，将E（x，2）代入抛物线y=-
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解得x=
6-2
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6+2
| ||
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6+2
| ||
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所以P（
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6+2
| ||
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点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据A、B两点坐标判断△ABC的形状，利用互余关系判断其它三角形形状，求出D点坐标及抛物线解析式，根据△BPF为等腰直角三角形，△BPF与△FCE相似，且有对顶角相等，由直角的对应关系，分类求P点坐标．
练习册系列答案
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