Question

已知⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于D，连结AO．
（1）求证：∠BAO=∠DAC；
（2）若AB=6，AC=3，AO=3

3

，求AD的长．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,圆周角定理

专题：

分析：（1）如图，作辅助线；证明∠E=∠C；证明∠DAC+∠C=∠E+∠BAE，即可解决问题．
（2）证明△ABE∽△ADC，列出比例式AB：AD=AE：AC，求出AD即可解决问题．

解答：解：（1）如图，延长AO交⊙O于点E；连接BE；
则∠E=∠C，∠ABE=90°；
∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=∠E+∠BAE，
∴∠BAE=∠DAC，
即∠BAO=∠DAC．
（2）∵∠E=∠C，∠ABE=∠ADC，
∴△ABE∽△ADC，
∴AB：AD=AE：AC，而AB=6，AC=3，AO=3

3

，
∴AD=

3

．

点评：该题以圆为载体，以考查圆周角定理及其推论、相似三角形的判定及其性质等几何知识点为核心构造而成；解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．