Question

已知抛物线y=2x²+bx+6经过A（1，0），点P为抛物线的顶点，点B为抛物线与x轴的另一交点．
（1）求出点P、点B的坐标．
（2）如图，在直线y=2x上是否存在点D，使以O、P、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）把点A的坐标代入抛物线求出b的值，再整理成顶点式，然后写出点P的坐标；令y=0解方程即可得到点B的坐标；
（2）利用待定系数法求出直线BP的解析式，然后根据平行四边形对边平行且相等解答．

解答：解：（1）∵抛物线y=2x²+bx+6经过A（1，0），
∴2×1²+b+6=0，
解得b=-8，
∴y=2x²-8x+6=2（x-2）²-2，
∴顶点P的坐标为（2，-2），
令y=0，则2x²-8x+6=0，
解得x₁=1，x₂=3，
∴点B的坐标为（3，0）；

（2）设直线BP的解析式为y=kx+b，
则

2k+b=-2 3k+b=0

，
解得

k=2 b=-6

，
所以，直线BP的解析式为y=2x-6，
∵直线y=2x与直线y=2x-6互相平行，
∴直线y=2x上是否存在点D，使以O、P、B、D为顶点的四边形是平行四边形，
此时，点D的坐标为（1，2）或（-1，-2）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，互相平行的直线的解析式的k值相等，平行四边形对边平行且相等，难点在于（2）根据坐标与图形性质利用点P、B的坐标特征分情况写出点D的坐标．