Question

如图，在四边形ABCD中，线段AC、BD相交于O，AB=BC=CD，∠ABC=70°，∠BCD=170°，求∠BAD的度数．

Answer 1

考点：等腰三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：如答图所示，作辅助线，构造等边△ABE．首先证明△BCE、△DCE均为等腰三角形，然后证明△AED也是等腰三角形，从而可求出∠EAD的度数；最后由∠BAD=∠BAE+∠EAD求解．

解答：解：∵BC=CD，∠BCD=170°，
∴∠CBD=∠CDB=

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（180°-170°）=5°．
如图，以AB为边作等边△ABE，点E位于四边形内部，连接CE、DE，则AB=BE=AE，∠ABE=∠BEA=∠BAE=60°
∴∠EBD=∠ABC-∠ABE-∠CBD=70°-60°-5°=5°，
∴∠EBD=∠CBD，
又∵BE=AB=BC，
∴△BCE为等腰三角形．
由三线合一可知，BD为CE的垂直平分线，
∴△CDE为等腰三角形，CD=CE．
∵AE=AB=CD=DE，
∴△AED为等腰三角形．
∵∠BEC=90°-∠EBD=85°，∠DEC=∠DCE=90°-∠CDB=85°，
∴∠AED=360°-∠AEB-∠BEC-∠DEC=360°-60°-85°-85°=130°，
∴∠EAD=

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（180°-∠AED）=

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（180°-130°）=25°，
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=60°+25°=85°．

点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的性质，试题难度较大，难点在于正确作出辅助线．