题目内容

如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=-1对称，与坐标轴交于A、B、C三点，且AB=4，点D的坐标为（-2，-
3
2
）在抛物线上，直线l是一次函数y=kx+2（k＞0）的图象，点O是坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线l平分四边形OCDA的面积，求k的值；
（3）把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M、N两点，（其中M点在y轴左侧，N点在y轴右侧）问在y轴的负半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）根据对称，可得A、B点的坐标，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据解方程组，可得交点坐标，根据平行四边形面积相等，可得两个平行四边形的上下底的和相等，根据解方程，可得答案；
（3）根据抛物线平移，可得解析式为：y=
1
2
x2，根据两角相等的两个三角形相似，可得Rt△MPM1∽Rt△NPN1，根据相似三角形的性质，可得对应边的比相等，根据解方程，可得答案．
解答：解：（1）抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=-1对称，AB=4，
∴A（-3，0）B（1，0）
又∵点D的坐标为（-2，-
3
2
）在抛物线上
∴
a+b+c=0
9a-3b+c=0
4a-2b+c=0
，
解得
a=
1
2
b=1
c=-
3
2
．
∴抛物线的解析式为 y=
1
2
x2+x-
3
2
；

（2）由（1）可知 y=
1
2
x2+x-
3
2
令x=0得C的坐标（0，-
3
2
）
∴CD∥AB
L与AB交于点E，与CD交于点F
则E点的坐标由
y=0
y=kx+2
解得E（-
2
k
，0）
F点的坐标由
y=-
3
2
y=kx=2
解得F（-
7
2k
，-
3
2
）
根据S四边形OCEF=S四边形EFDA，
得OE+CF=DF+AE
即|-
2
k
|+|-
7
2k
|=（3-|-
2
k
|）+（2-|-
7
2k
|）
∵k＞0
∴
2
k
+
7
2k
=3-
2
k
+2-
7
2k

解得k=
11
5


（3）存在定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称
由（1 ）知y=
1
2
x2+x-
3
2
=
1
2
(x2+2x+1-1)-
3
2
=
1
2
(x+1)2-2

物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=
1
2
x2
如图假设在y轴上存在一点P（0，t）  （t＜0）
使直线PM、PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1，垂足分别为M1、N1
∵∠MPO=∠NPO
∴Rt△MPM1∽Rt△NPN1
∴
MM1
NN1
=
PM1
PN1
     ①
设点M（xm，ym）在点N（xn，yn）的左侧
点P在y的负半轴上
则①式变为
-xm
xn
=
-t+ym
-t+yn
即
xm
xn
=
t-ym
t-yn

又∵ym=kxm+2    yn=kxn+2
∴
xm
xn
=
t-kxm-2
t-kxn-2

化简得t（xm-xn0=-2（xm-xn）
∵xm≠xn
∴t=-2 符合条件
∴在y轴的负半轴上是否存在一定点P（0，-2）使直线PM与PN总是关于y轴对称．
点评：本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，（2）根据两梯形面积相等得出方程式解题关键，（3）由相似三角形的对应边相等得出方程是解题关键．
练习册系列答案
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．
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5
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1
x-2
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．
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3
4
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3
4t
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3
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