如图.抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=-1对称.与坐标轴交于A.B.C三点.且AB=4.点D的坐标为(-2.-32)在抛物线上.直线l是一次函数y=kx+2的图象.点O是坐标原点．(1)求抛物线的解析式,(2)若直线l平分四边形OCDA的面积.求k的值,(3)把抛物线向右平移1个单位.再向上平移2个单位.所得抛物线与直线l交于M.N两点.(其中M点在y轴左侧.N点在y轴右侧)� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

如图，抛物线y=ax²+bx+c关于直线x=-1对称，与坐标轴交于A、B、C三点，且AB=4，点D的坐标为（-2，-

3

2

）在抛物线上，直线l是一次函数y=kx+2（k＞0）的图象，点O是坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线l平分四边形OCDA的面积，求k的值；
（3）把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得抛物线与直线l交于M、N两点，（其中M点在y轴左侧，N点在y轴右侧）问在y轴的负半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据对称，可得A、B点的坐标，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据解方程组，可得交点坐标，根据平行四边形面积相等，可得两个平行四边形的上下底的和相等，根据解方程，可得答案；
（3）根据抛物线平移，可得解析式为：y=

1

2

x2，根据两角相等的两个三角形相似，可得Rt△MPM₁∽Rt△NPN₁，根据相似三角形的性质，可得对应边的比相等，根据解方程，可得答案．

解答：解：（1）抛物线y=ax²+bx+c关于直线x=-1对称，AB=4，
∴A（-3，0）B（1，0）
又∵点D的坐标为（-2，-

3

2

）在抛物线上
∴

a+b+c=0

9a-3b+c=0

4a-2b+c=0

，
解得

a=

1

2

b=1

c=-

3

2

．
∴抛物线的解析式为 y=

1

2

x2+x-

3

2

；

（2）由（1）可知 y=

1

2

x2+x-

3

2

令x=0得C的坐标（0，-

3

2

）
∴CD∥AB
L与AB交于点E，与CD交于点F
则E点的坐标由

y=0

y=kx+2

解得E（-

2

k

，0）
F点的坐标由

y=-

3

2

y=kx=2

解得F（-

7

2k

，-

3

2

）
根据S_{四边形OCEF}=S_{四边形EFDA}，
得OE+CF=DF+AE
即|-

2

k

|+|-

7

2k

|=（3-|-

2

k

|）+（2-|-

7

2k

|）
∵k＞0
∴

2

k

+

7

2k

=3-

2

k

+2-

7

2k

解得k=

11

5

（3）存在定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称
由（1 ）知y=

1

2

x2+x-

3

2

=

1

2

(x2+2x+1-1)-

3

2

=

1

2

(x+1)2-2

物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位所得抛物线的解析式为：y=

1

2

x2
如图假设在y轴上存在一点P（0，t）（t＜0）
使直线PM、PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM₁、NN₁，垂足分别为M₁、N₁
∵∠MPO=∠NPO
∴Rt△MPM₁∽Rt△NPN₁
∴

MM1

NN1

=

PM1

PN1

①
设点M（x_m，y_m）在点N（x_n，y_n）的左侧
点P在y的负半轴上
则①式变为

-xm

xn

=

-t+ym

-t+yn

即

xm

xn

=

t-ym

t-yn

又∵y_m=kx_m+2 y_n=kx_n+2
∴

xm

xn

=

t-kxm-2

t-kxn-2

化简得t（x_m-x_n0=-2（x_m-x_n）
∵x_m≠x_n
∴t=-2 符合条件
∴在y轴的负半轴上是否存在一定点P（0，-2）使直线PM与PN总是关于y轴对称．

点评：本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式，（2）根据两梯形面积相等得出方程式解题关键，（3）由相似三角形的对应边相等得出方程是解题关键．

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