Question

14．已知∠AOD=α，射线OB、OC在∠AOD的内部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
（1）如图1，当射线OB与OC重合时，求∠MON的大小；
（2）在（1）的条件下，若射线OC绕点O逆时针旋转一定角度θ，如图2，求∠MON的大小；
（3）在（2）的条件下，射线OC绕点O继续逆时针旋转，旋转到与射线OA的反向延长线重合为止，在这一旋转过程中，∠MON=$\frac{1}{2}$（θ-α）．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义求出∠BOM和∠BON，然后根据∠MON=∠BOM+∠BON代入数据进行计算即可得解；
（2）根据角平分线的定义求出∠COM和∠BON，然后根据∠MON=∠COM+∠BON-∠BOC代入数据进行计算即可得解；
（3）根据角平分线的定义求出∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC=90°，∠DON=$\frac{1}{2}$∠BOD，根据∠AOD-∠BOD+BOC=180°求得∠BOD=α+θ-180°，然后根据∠MON=90°-α+$\frac{1}{2}$∠BOD，代入数据进行计算即可得解．

解答 解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠BOM=$\frac{1}{2}$∠AOB，∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠MON=∠COM+∠BON-∠BOC=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOD），
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD=α，
∴∠MON=$\frac{1}{2}$α；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
∴∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠BON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠MON=∠COM+∠BON-∠BOC=$\frac{1}{2}$（∠AOC+∠BOD）-∠BOC，
∵∠AOD=∠AOC+∠BOD-∠BOC=α，
∴∠AOC+∠BOD=α+θ，
∴∠MON=$\frac{1}{2}$（α+θ）-θ=$\frac{1}{2}$（α-θ）；
（3）如图3，∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
∴∠AOM=$\frac{1}{2}$∠AOC=90°，∠DON=$\frac{1}{2}$∠BOD，
∴∠MON=90°-α+$\frac{1}{2}$∠BOD，
∵∠AOD-∠BOD+BOC=180°，
∴∠BOD=α+θ-180°，
∴∠MON=90°-α+$\frac{1}{2}$∠BOD=90°-α+$\frac{1}{2}$（α+θ-180°）=$\frac{1}{2}$（θ-α）．
故答案为$\frac{1}{2}$（θ-α）．

点评 本题考查了角的计算，角平分线的定义，准确识图是解题的关键，难点在于要注意整体思想的利用．