Question

11．已知关于x的二次函数y=x²+（k²-3k-4）x+2k的图象与x轴从左到右交于A，B两点，且这两点关于原点对称．
（1）求k的值；
（2）在（1）的条件下，若反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象与二次函数y=x²+（k²-3k-4）x+2k的图象从左到右交于Q，R，S三点，且点Q的坐标为（-1，-1），点R（x_R，y_R），S（x_s，y_s）中的纵坐标y_R，y_s分别是一元二次方程y²+my-1=0的解，求四边形AQBS的面积S_{四边形AQBS}；
（3）在（1），（2）的条件下，在x轴下方是否存在二次函数y=x²+（k²-3k-4）x+2k图象上的点P使得S_△PAB=2S_△RAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设A点坐标为（x₁，0），B点坐标为（x₂，0），由A、B两点关于原点对称，即可得x₁+x₂=0，又由x₁+x₂=-（k²-3k-4），即可求得k的值；
（2）由Q点的坐标求出m的值，从而确定一元二次方程y²-my-1=0即为y²+y-1=0，解得：y=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，因为点R在点S的左边，所以${y}_{R}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}，{y}_{S}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，由（1）得二次函数y=x²-2，令x²-2=0，解得：${x}_{1}=-\sqrt{2}，{x}_{2}=\sqrt{2}$，所以A（-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0），即可求得AB的长，又由四边形AQBS的面积为：S_△AQB+S_△ASB求得答案；
（3）由抛物线的顶点坐标为（0，-2），假设满足条件的点P存在，由S_△PAB=2S_△RAB，可得点P的纵坐标，即可得即在x轴下方抛物线上不存在点P，使S_△PAB=2S_△RAB．

解答 解：（1）设A点坐标为（x₁，0），B点坐标为（x₂，0），
∵A、B两点关于原点对称，
∴x₁+x₂=0，
又x₁+x₂=-（k²-3k-4），
则k²-3k-4=0，
解得k₁=-1，k₂=4，
当k=4时，抛物线为y=x²+8，此时△=-32＜0，舍去；
当k=-1时，抛物线为y=x²-2，此时△=8＞0，则抛物线与x轴交于两点，
故所求k值为-1．
（2）如图：

∵Q的坐标为（-1，-1），在y=$\frac{m}{x}$上，
∴$-1=\frac{m}{-1}$，
解得：m=1，
∴一元二次方程y²-my-1=0即为y²+y-1=0，
解得：y=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
∵点R在点S的左边，
∴${y}_{R}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}，{y}_{S}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
由（1）得二次函数y=x²-2，令x²-2=0，解得：${x}_{1}=-\sqrt{2}，{x}_{2}=\sqrt{2}$，
∴A（-$\sqrt{2}$，0），B（$\sqrt{2}$，0），
∴AB=|$\sqrt{2}-（-\sqrt{2}）$|=2$\sqrt{2}$，
则四边形AQBS的面积为：${S}_{△AQB}+{S}_{△ABS}=\frac{1}{2}AB•|{y}_{Q}|+\frac{1}{2}AB•$|y_S|=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×1+\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}$．
（3）∵抛物线的顶点坐标为（0，-2），假设满足条件的点P存在，
则∵S_△PAB=2S_△RAB，
∴点P的纵坐标为：2×（$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$）=-1$-\sqrt{5}$，
而-1-$\sqrt{5}＜-2$，
∴P点不存在．
即在x轴下方抛物线上不存在点P，使S_△PAB=2S_△RAB．

点评 此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，点与函数的关系以及四边形的面积求解方法等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．