Question

20．如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE=$\frac{1}{4}$AB．⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF=$\sqrt{5}$：2．当⊙O与边BC所在的直线与相切时，AB的长是12．

Answer 1

分析 过点G作GN⊥AB，垂足为N，可得EN=NF，由EG：EF=$\sqrt{5}$：2，得：EG：EN=$\sqrt{5}$：1，依据勾股定理即可求得AB的长度．

解答 解：边BC所在的直线与⊙O相切时，
如图，过点G作GN⊥AB，垂足为N，
∴EN=NF，
又∵EG：EF=$\sqrt{5}$：2，
∴EG：EN=$\sqrt{5}$：1，
又∵GN=AD=8，
∴设EN=x，则GE=$\sqrt{5}$x，根据勾股定理得：
（$\sqrt{5}$x）2-x2=64，解得：x=4，GE=4$\sqrt{5}$，
设⊙O的半径为r，由OE²=EN²+ON²
得：r²=16+（8-r）²，
∴r=5．∴OK=NB=5，
∴EB=9，
又AE=$\frac{1}{4}$AB，
∴AB=12．
故答案为：12．

点评 本题考查了切线的性质以及勾股定理和垂径定理的综合应用，解答本题的关键在于做好辅助线，利用勾股定理求出对应圆的半径．