Question

如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为O，E．
（1）当BC=1时，求线段OD的长；
（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由．
（3）当OD=

3

时，求OE的长．

Answer 1

考点：垂径定理,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）证明BD=DC=0.5，借助勾股定理即可解决问题．
（2）证明DE为△ABC的中位线，求出AB的长度，即可解决问题．
（3）求出∠DOE=45°，此为解决问题的关键性结论；运用余弦定理列出关于线段OE的方程即可解决问题．

解答：解：（1）∵OD⊥BC，
∴BD=DC=0.5，
由勾股定理得：
OD²=OB²-BD²，而OB=2，
∴OD=

15

2

．
（2）存在，DE的长度不变．
∵∠AOB=90°，OA=OB=2，
∴AB²=2²+2²，
∴AB=2

2

；
∵OD⊥BC，OE⊥AC，
∴BD=DC，AE=CE，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=

1

2

AB=

2

．
（3）∵OD⊥BC，OE⊥AC，且OA=OB=OC，
∴∠AOE=∠COE（设为α），∠BOD=∠COD（设为β），
∵2（α+β）=90°，
∴α+β=45°，即∠DOE=45°；
设OE=λ；在△DOE中，由余弦定理得：
DE²=OD²+OE²-2OD•OE•cos45°，
即2=3+OE2-2

3

•OE•

2

2

，
整理得：OE2-

6

OE+1=0，
解得：OE=

6 + 2

2

或

6 - 2

2

（舍去）．
∴OE=

6 + 2

2

．

点评：该题主要考查了垂径定理、三角形的中位线定理、勾股定理及其应用问题；牢固掌握定理是基础，灵活运用解答是关键．