Question

如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与AB重合）过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q．
（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BP=6，AP=1，QP=8，求QC的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连结OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根据QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°，则∠1+∠2=90°，再利用平角的定义得到∠DCO=90°，然后根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线；
（2）连结AC，由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，根据勾股定理求得BQ、BC，然后根据三角形相似的性质求得BC，最后利用QC=BQ-BC进行计算即可．

解答：（1）解：CD与⊙O相切．理由如下：如图，
∵OC=OB，
∴∠2=∠B，
∵DQ=DC，
∴∠1=∠Q，
∵QP⊥PB，
∴∠BPQ=90°，
∴∠Q+∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠DCO=180°-∠1-∠2=90°，
∴OC⊥CD，
而OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线；

（2）解：连接AC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△BPQ中，BQ=

QP2+BP2

=

82+62

=10，
∵∠ACB=∠QPB=90°，∠ABC=∠QPB，
∴△ABC∽△QBP，
∴

BC

BP

=

AB

BQ

，
∵AB=AP+BP=1+6=7，
∴

BC

6

=

7

10

，
∴BC=4.2，
∴QC=BQ-BC=10-4.2=5.8．

点评：本题考查了切线的判定和勾股定理的应用，切线的判定定理是：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查等腰三角形的性质以及三角形相似的判定和性质．