Question

19．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为边BC的中点，以AB、BD为邻边作?ABDE，连结AD、EC．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？（直接写出满足的条件即可）

Answer 1

分析 （1）先根据等腰三角形三线合一的性质证明∠ADC=90°，再根据有一组对边平行且相等证明四边形ADCE是平行四边形，所以四边形ADCE是矩形；
（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．

解答 证明：（1）∵在△ABC中，AB=AC，点D为边BC的中点，
∴BD=DC，∠ADC=90°，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD且AE=BD，
∴AE∥DC且AE=DC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形；
（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形；
理由是：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACD=45°，
∵∠ADC=90°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD=CD，
∴矩形ADCE是正方形．

点评 本题考查了平行四边形、矩形、正方形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握矩形和正方形的判定是关键．