Question

如图，BE、CF是△ABC的两条高，它们相交于点Q，CQ=AB，连结AQ，延长BE到P，使BP=AC．
（1）猜想AQ与PA的大小关系，并说明理由；
（2）按三角形内角判断△QAP的类型，并说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证∠ABQ=∠ACQ，即可证明△ABP≌△QCA，可得AQ=AP，即可解题；
（2）易证∠CAQ=∠P和∠AQP=∠CAQ，即可求得∠P=∠AQP=∠CAQ=45°，即可解题．

解答：证明：如图：

（1）∵∠BQF+∠ABQ=90°，∠ACQ+∠CQE=90°，∠BQF=∠CQE，
∴∠ABQ=∠ACQ，
在△ABP和△QCA中，

AB=CQ ∠ABQ=∠ACQ BP=AC

，
∴△ABP≌△QCA（SAS），
∴AQ=AP；
（2）∵△ABP≌△QCA，
∴∠CAQ=∠P，
∵AQ=AP，
∴∠AQP=∠P，
∴∠AQP=∠CAQ，
∵∠AEQ=90°，
∴∠P=∠AQP=∠CAQ=45°，
∴△QAP为等腰直角三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ABP≌△QCA是解题的关键．