Question

如图，点AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，点C在BD上，且∠ACE=90°，AC=CE，AB=4，BC=6．
（1）线段AC=

 

；
（2）证明△ABC≌△?CDE；
（3）如果点P是线段BC上任意一点，问是否存在P使得点A、E、P构成一个直角三角形？若存在请求出BP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证∠ABC=90°，根据勾股定理即可解题；
（2）易证∠BAC=∠ECD，即可证明△ABC≌△?CDE，即可解题；
（3）连接AP，EP，易求得CD、DE、AE的长，易证AE²=AB²+BP²+DE²+DP²，设BP=x，即可求得x的值，即可解题．

解答：解：（1）∵AB⊥BD，
∴∠ABC=90°，
∵AC²=AB²+BC²=52，
∴AC=2

13

，
故答案为2

13

；
（2）∵∠BAC+∠BCA=90°，∠ECD+∠BCA=90°，
∴∠BAC=∠ECD，
在△ABC和△?CDE中，

∠B=∠D=90° ∠BAC=∠ECD AC=CE

，
∴△ABC≌△?CDE（AAS）；
（3）连接AP，EP，

∵△ABC≌△?CDE，
∴CD=AB=4，DE=BC=6，
∵AC=2

13

，
∴AE=

2

AC=2

26

，
∵AP²=AB²+BP²，EP²=DE²+DP²，AE²=AP²+PE²
∴AE²=AB²+BP²+DE²+DP²，
设BP=x，
则104=16+x²+36+（10-x）²，
解得：x=4或6，
∵BC=6，
∴BP=4时，点A、E、P构成一个直角三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证△ABC≌△?CDE是解题的关键．