Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，AD=4，求DC的长．

Answer 1

考点：切线的判定,勾股定理

专题：证明题

分析：（1）连结OC，如图，根据角平分线定义得∴∠DAC=∠OAC，加上∠OAC=∠OCA，则∠DAC=∠OCA，于是可判断OC∥AD，由于AD⊥DC，所以OC⊥DC，则可根据切线的判定定理得到结论；
（2）连结BC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，易证得Rt△ADC∽Rt△ACB，利用相似比可计算出AC=2

6

，然后在Rt△ADC中根据勾股定理可计算出DC．

解答：（1）证明：连结OC，如图，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠OAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∵AD⊥DC，
∴OC⊥DC，
∴DC为⊙O的切线；
（2）解：连结BC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
而∠DAC=∠BAC，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴

AD

AC

=

AC

AB

，即

4

AC

=

AC

6

，解得AC=2

6

，
在Rt△ADC中，∵AC=2

6

，AD=4，
∴CD=

AC2-AD2

=2

2

．

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理．