Question

16．证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量．

Answer 1

分析 根据三角形的面积公式S_△=$\frac{1}{2}$底×高求得S_△ABD、S_△ACD、S_△ABC；又由图易知，S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，分析到这里，问题就迎刃而解了．

解答 已知：△ABC中，AB=AC，D为BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为E、F，
CG⊥AB于G，
求证：CG=DE+DF．
证明：已知如图所示．
∵ED⊥AB，
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•ED；
∵DF⊥AC，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$；
∵CG⊥AB，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$；
又∵AB=AC，S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，
∴$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$AB•ED+$\frac{1}{2}$，
∴CG=DE+DF，
即等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、三角形的面积公式等知识点；辅助线的作出是解答本题的关键．