Question

11．如图，等边三角形ABC中，E、D分别在AB、AC上，若AD=BE，且CE、BD交于点O，CF⊥BD于F．
求证：（1）△BEO∽△CEB；
（2）OF=$\frac{1}{2}$OC．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得到，AB=BC，∠A=∠ABC=60°，推出△ABD≌△BCE，得到∠ABD=∠BCE，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据三角形的外角的性质得到∠FOC=60°，根据三角形的内角和得到∠FCO=30°，由直角三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=60°，
在△ABD与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠A=∠ABC}\\{AD=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BCE，
∴∠ABD=∠BCE，
∵∠BEO=∠CEB，
∴△BEO∽△CEB；

（2）∵∠ABD=∠BCE，
∵∠FOC=∠OBC+∠OCB，∠ABC=∠ABD+∠DBC=60°，
∴∠FOC=60°，
∵CF⊥BD，
∴∠FCO=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OC．

点评 本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，证得△ABD≌△BCE是解题的关键．