Question

1．如图，△ABC中，∠C=90°，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F．
（1）如图1，求sin∠DFE的值；
（2）如图2，若$\frac{BF}{AF}$=$\frac{2}{3}$，求sin∠DEF的值．

Answer 1

分析 （1）如图1所示：连接OD、OE．先证明四边形ODCE为矩形，从而得到∠EOD=90°，依据圆周角定理可得到∠EFD=45°，于是可得到sin∠EFD的值；
（2）如图所示；练级OE、DO、OF，OA．先证明四边形ODCE为正方形．EC=DC=r．由切线长定理可得到AC=3k+r，BC=2k+r，AB=5k，然后再△ABC中，依据勾股定理可求得：r=k，在依据勾股定理求得AO的长，由锐角三角函数的定义可得到sin∠FOA的值，然后根据∠AOF=∠FED，可求得sin∠FED的值．

解答 解：（1）如图1所示：连接OD、OE．

∵圆O为三角形的内切圆，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，即∠ODC=∠OED=90°．
又∵∠C=90°，
∴四边形ODCE为矩形．
∴∠EFD=45°．
∴sin∠EFD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）如图所示，连接OE、DO、OF，OA．

由（1）可知四边形ODCE为矩形．
又∵OE=OF，
∴四边形ODCE为正方形．
∴EC=DC=r．
设BF=2k，AF=3k，则AD=3k，BE=2k，
∴AC=3k+r，BC=2k+r，AB=5k．
在△ABC中，由勾股定理得；AB²=AC²+BC²，即（5k）²=（3k+r）²+（2k+r）²．
解得：r=k．
∴OF=k．
在△AOF中，OA=$\sqrt{O{F}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{10}$k．
∴sin∠FOA=$\frac{3}{\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
∵∠AOF=$\frac{1}{2}$∠FOD，∠FED=$\frac{1}{2}$∠FOD，
∴∠AOF=∠FED．
∴sin∠FED=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题主要考查的是三角形的内切圆、锐角三角函数的定义、勾股定理、正方形的判定，用含k的式子表示出圆的半径的长度是解题的关键．