Question

9．发现与探究：如图，△ABC和△DCE中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=45°，点B、C、E三点共线，且BC：CE=2：1，连接AE、BD．
（1）在不添加辅助线和字母的情况下，请在图中找出一对全等三角形（用“≌”表示），并加以证明；
（2）求tan∠BDC的值．

Answer 1

分析 （1）根据SAS证明△BCD与△ACE全等即可；
（2）作AF⊥BE，利用三角函数进行解答即可．

解答 解：（1）△BCD≌△ACE，
∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
在△BCD与△ACE中$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCD=∠ACE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）作AF⊥BE，如图：

∵BC：CE=2：1，
∴设BC=2k，CE=k，
在Rt△AFC中，AC=BC=2k，∠ACF=45°，
∴FC=AC•cos45°=2k×$\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}k$，EF=FC+CE=$\sqrt{2}$k+k=（$\sqrt{2}$+1）k，
∵∠FAC=45°，
∴AF=$\sqrt{2}$k，
由（1）得△BCD≌△ACE，
∴∠BDC=∠AEC，
∴在Rt△AFE中，tan∠BDC=tan∠AEC=$\frac{AF}{FE}=\frac{\sqrt{2}k}{（\sqrt{2}+1）k}=2-\sqrt{2}$．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，三角函数等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度，关键是根据SAS证明△BCD与△ACE全等．