Question

10．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C（3，4），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象经过点B．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）将菱形OABC沿y轴向上平移，使点A恰好落在双曲线上，此时，点B、C对应的点为 M、N，且MN与双曲线交于D，求点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出OC的长，再根据菱形的性质求出B点坐标，然后把点B的坐标代入反比例函数求出k的值，即可得出反比例函数的解析式；
（2）先根据平移的规律以及反比例函数图象上点的坐标特征求出平移后点A的坐标，点B、C对应的点M、N的坐标，再将点M或N的纵坐标的值代入反比例函数的解析式，求出x的值即可．

解答 解：（1）∵点C（3，4），
∴OC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∵四边形OABC是菱形，
∴BC=OA=OC=5，BC∥OA，
∴B点坐标为（8，4）．
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象经过点B，
∴k=8×4=32，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{32}{x}$；

（2）∵将菱形OABC沿y轴向上平移，使点A恰好落在双曲线上，
∴平移后点A的坐标为（5，$\frac{32}{5}$），
∴点B、C对应的点M（8，$\frac{52}{5}$），N（3，$\frac{52}{5}$），
将y=$\frac{52}{5}$代入y=$\frac{32}{x}$，得$\frac{52}{5}$=$\frac{32}{x}$，解得x=$\frac{40}{13}$，
∴点D的坐标（$\frac{40}{13}$，$\frac{52}{5}$）．

点评 本题考查了反比例函数解析式的求法、勾股定理、坐标与图形性质、菱形的性质、平移的规律以及反比例函数图象上点的坐标特征等知识；本题综合性较强，难度适中．