Question

13．如图，已知在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点D从点A出发，沿射线AB方向以每秒1个单位长的速度移动，同时点E从点C出发，沿射线CA方向以每秒1个单位长的速度移动．设点D移动的时间为t（秒）．

（1）如图1，当0＜t＜4时，连结DE，记△ADE的面积为S_△ADE，则当t取何值时，S_△ADE=2？
（2）如图2，点O为BC中点，连结OD、0E．
①当0＜t＜4时，小明探索发现S_△ADE+S_ODE=$\frac{1}{2}$S_△ABC，你认为他的发现正确吗？请做出判断并说明理由．
②当t＞4时，请直接写出S_△ADE，S_△ODE，S_△ABC之间的关系．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到AD=t，AE=AC-CE=4-t，根据三角形的面积列方程即可得到结果；
（2）①如图2，连接AO，根据已知条件推出△AOE≌△BOD，于是得到S_△AOE=S_△BOD，等量代换得到结论；②如图2，连接AO，根据S_{四边形AEDO}=S_△AOE+S_△DOE=S_△ADE+S_△BOD+S_△ABO等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）当0＜t＜4时，∵AD=t，AE=AC-CE=4-t，
∵∠A=90°，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$AD•AE=$\frac{1}{2}$t（4-t）=2，
解得：t=2，
∴当t=2时，S_△ADE=2；

（2）①正确，如图2，连接AO，
∵AD=CE=t，
∴BD=AE=4-t，
∵△ABC是等腰直角三角形，点O为BC中点，
∴AO=BO，∠B=∠CAO=45°，
在△AOE与△BOD中，$\left\{\begin{array}{l}{BD=AE}\\{∠B=∠CAO}\\{OB=OA}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOD，
∴S_△AOE=S_△BOD，
∴S_△ADE+S_ODE=S_△AOE+S_△AOD=S_△BOD+S_△AOD=S_△ABO=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
②S_△DOE-S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ABC．
如图2，连接AO，
∵S_{四边形AEDO}=S_△AOE+S_△DOE=S_△ADE+S_△BOD+S_△ABO
由①证得S_△AOE=S_△BOD，
∴S_△DOE=S_△ADE+S_△ABO，
即S_△DOE-S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ABC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积的计算，证得△AOE≌△BOD是解题的关键．