如图.△ABC是以BC为底边的等腰三角形.点A.C分别是一次函数$y=-\frac{3}{4}x+3$的图象与y轴.x轴的交点.点B在二次函数$y=\frac{1}{8}{x^2}+bx+c$的图象上.且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．(1)试求b.c的值.并写出该二次函数的解析式,(2)动点P从A到D.同时动点Q从C到A都以每秒1� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

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如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数$y=-\frac{3}{4}x+3$的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数$y=\frac{1}{8}{x^2}+bx+c$的图象上，且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；
（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：
①当P运动到何处时，△APQ是直角三角形？
②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？

分析（1）首先得出B，D点坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）①分别利用当PQ⊥AC时，当QP⊥AD时，结合勾股定理求出t的值即可；
②过点Q作QH⊥AD，垂足为H．由于S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•QH=$\frac{1}{2}$AP•AQsin∠PAQ，S_△ACD=$\frac{1}{2}$AD•OA，所以S_{四边形PDCQ}=S_△ACD-S_△APQ求出最值即可．

解答解：（1）由$y=-\frac{3}{4}x+3$，得A（0，3），C（4，0）．
由于B、C关于OA对称，所以B（-4，0），BC=8．
因为AD∥BC，AD=BC，所以D（8，3）．
将B（-4，0）、D（8，3）分别代入$y=\frac{1}{8}{x^2}+bx+c$，
得$\left\{\begin{array}{l}2-4b+c=0\\ 8+8b+c=3.\end{array}\right.$
解得 $b=-\frac{1}{4}$，c=-3．
所以该二次函数的解析式为$y=\frac{1}{8}{x^2}-\frac{1}{4}x-3$．

（2）①设点P、Q运动的时间为t．
在△APQ中，AP=t，AQ=AC-CQ=5-t，cos∠PAQ=cos∠ACO=$\frac{4}{5}$．
当PQ⊥AC时，$\frac{AQ}{AP}=\frac{4}{5}$．
所以$\frac{5-t}{t}$=$\frac{4}{5}$．
解得t=$\frac{25}{9}$，即AP=$\frac{25}{9}$．（如图1所示）
当QP⊥AD时．这时$\frac{AP}{AQ}=\frac{4}{5}$，
所以$\frac{t}{5-t}=\frac{4}{5}$．
解得$t=\frac{20}{9}$（如图2所示）．

②如图3，过点Q作QH⊥AD，垂足为H．
由于S_△APQ=$\frac{1}{2}AP•QH=\frac{1}{2}AP•AQsin∠PAQ=\frac{1}{2}t（5-t）×\frac{3}{5}=-\frac{3}{10}{t^2}+\frac{3}{2}t$

S_△ACD=$\frac{1}{2}AD•OA=\frac{1}{2}×8×3=12$，
所以S_{四边形PDCQ}=S_△ACD-S_△APQ=$12-（-\frac{3}{10}{t^2}+\frac{3}{2}t）=\frac{3}{10}{（t-\frac{5}{2}）^2}+\frac{81}{8}$．
所以当AP=$\frac{5}{2}$时，四边形PDCQ面积的最小值是$\frac{81}{8}$．