Question

3．已知：如图，等边△ABC中，D为BC上一点．CE为△ABC的外角角平分线，连接DE，若DE=DA，求证：△ADE为等边三角形．

Answer 1

分析 由等边三角形的性质可以得出∠BAC=∠B=∠ACB=60°，AB=AC．由条件证明△ABD≌△ACE就可以得出AD=AE，∠1=∠3，得出∠DAE=60°就可以得出△ADE为等边三角形．

解答 证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，AB=AC．
∴∠ACF=120°．
∵CE平分∠ACF，
∴∠4=$\frac{1}{2}$∠ACF=60°，
∴∠B=∠4．
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠B=∠4}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD=AE，∠1=∠3．
∵∠1+∠2=60°，
∴∠2+∠3=60°．
即∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形．

点评 本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，角平分线的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．