Question

11．如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：
①方程x²-3x+2=0是倍根方程；
②若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，则4m²+5mn+n²=0；
③若pq=2，则关于x的方程px²+3x+q=0是倍根方程；
④若方程ax²+bx+c=0是倍根方程，且5a+b=0，则方程ax²+bx+c=0的一个根为$\frac{5}{4}$．
其中正确的是①②③（写出所有正确说法的序号）．

Answer 1

分析 ①解得方程后即可利用倍根方程的定义进行判断；
②根据（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x₁=2，x₂=-$\frac{n}{m}$得到$\frac{n}{m}$=-1，或$\frac{n}{m}$=-4，从而得到m+n=0，4m+n=0，进而得到4m²+5mn+n²=（4m+n）（m+n）=0正确；
③已知条件pq=2，然后解方程px²+3x+q=0即可得到正确的结论．
④利用“倍根方程”的定义进行解答．

解答 解：①解方程x²-3x+2=0得：x₁=2，x₂=1，
∴方程x²-3x+2=0是倍根方程，故①正确；

②∵（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x₁=2，x₂=-$\frac{n}{m}$，
∴$\frac{n}{m}$=-1，或$\frac{n}{m}$=-4，
∴m+n=0，4m+n=0，
∵4m²+5mn+n²=（4m+n）（m+n）=0，故②正确；

③∵pq=2，
解方程px²+3x+q=0得：x₁=-$\frac{1}{p}$，x₂=-$\frac{2}{p}$，
∴x₂=2x₁，故③正确；

④∵方程ax²+bx+c=0是倍根方程，
∴设x₁=2x₂，
∴x₁+x₂=5，
∴x₂+2x₂=5，
∴x₂=$\frac{5}{3}$，故④错误．
故答案是：①②③．

点评 本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图形上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．