Question

13．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点O在AB上，且CA=CO，若将直角三角形ABC绕着点A顺时针旋转，得到直角三角形AED，B、C的对应点分别为E、D，且点D落在CO的延长线上，连接BE交CO的延长线于点F，若CA=6，AB=18，则BF的长为14．

Answer 1

分析 根据旋转的性质可得AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ACD=∠ABE，从而得到△AOC∽△FOB，根据相似三角形对应边成比例求出BF=OB，过点C作CH⊥AB于H，根据等腰三角形三线合一的性质可得AO=2AH，再由△ACH∽△ABC求出AH，然后根据BO=AB-AO即可得解．

解答 解：∵△ABC以点A为旋转中心顺时针旋转得到△ADE，
∴AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE（为旋转角），
∵∠ACD=$\frac{1}{2}$（180°-∠CAD），∠ABE=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAE），
∴∠ACD=∠ABE，
又∵∠AOC=∠BOF，
∴△AOC∽△FOB，
∴$\frac{AC}{OC}=\frac{FB}{OB}$，
∵AC=OC，
∴BF=OB，
过点C作CH⊥AB于H，则AO=2AH，
∵△ACH∽△ABC，
∴AC²=AH•AB，
∴6²=18•AH，
∴AH=2，
∴AO=4，
∴BF=BO=AB-AO=18-4=14．

点评 本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，利用三角形相似求出BF=OB是解题的关键，也是本题的难点．