Question

19．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点P为BC边上的一个动点，以P为圆心的⊙P与边AB相切于点D．在点P移动的过程中，△APC如果成为等腰三角形，求⊙P的半径．

Answer 1

分析 作AH⊥BC于H，利用等腰三角形的性质和勾股定理计算出AH，再利用切线的性质得PD⊥AB，然后分类讨论：当CP=CA=10时，如图1，则BP=BC-CP=6，通过证明Rt△BPD∽Rt△BAH，利用相似比克计算出PD；当PA=PC时，作PE⊥AC于E，如图2，则AE=CE=5，先利用△CPE∽△CAH，通过相似比计算出CP，从而得到BP的长，接着利用Rt△BPD∽Rt△BAH，通过相似比计算PD的长．

解答 解：作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=10，
∴BH=CH=$\frac{1}{2}$BC=8，
∴AH=$\sqrt{{10}^{2}-{8}^{2}}$=6，
∵AB与⊙P相切，
∴PD⊥AB，
当CP=CA=10时，如图1，BP=BC-CP=6，
∵∠PBD=∠ABH，
∴Rt△BPD∽Rt△BAH，
∴$\frac{DP}{AH}$=$\frac{BP}{AB}$，即$\frac{PD}{6}$=$\frac{6}{10}$，解得PD=$\frac{18}{5}$；
当PA=PC时，作PE⊥AC于E，如图2，则AE=CE=5，
易证得△CPE∽△CAH，
∴$\frac{CP}{AC}$=$\frac{CE}{CH}$，即$\frac{CP}{10}$=$\frac{5}{8}$，解得CP=$\frac{25}{4}$，
∴BP=16-$\frac{25}{4}$=$\frac{39}{4}$，
∵∠PBD=∠ABH，
∴Rt△BPD∽Rt△BAH，
∴$\frac{DP}{AH}$=$\frac{BP}{AB}$，即$\frac{PD}{6}$=$\frac{\frac{39}{4}}{10}$，解得PD=$\frac{117}{20}$，
综上所述，⊙P的半径为$\frac{18}{5}$或$\frac{117}{20}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决本题的关键灵活运用等腰三角形的性质和相似比计算线段的长．