Question

9．如图，在以△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作PE⊥BC交BC于点E，交AB的延长线于点P．
（1）判断直线PE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PA=1，∠B=30°，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连结OD，如图，根据等腰三角形的性质得∠1=∠C，∠1=∠2，则∠2=∠C，于是可判断OD∥BC，再利用PE⊥BC可得PE⊥OD，然后根据切线的判定定理得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，根据平行线的性质得∠POD=∠B=30°，然后利用余弦定义得到即$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{r}{r+1}$，再解方程求出r即可．

解答 解：（1）直线PE与⊙O相切．理由如下：
连结OD，如图，
∵AB=CB，
∴∠1=∠C，
∵OD=OA，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠C，
∴OD∥BC，
∵PE⊥BC，
∴PE⊥OD，
∴直线PE为⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为r，
∵OD∥BC，
∴∠POD=∠B=30°，
在Rt△POD中，cos∠POD=$\frac{OD}{OP}$，
即$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{r}{r+1}$，解得r=2$\sqrt{3}$+3，
即⊙O的半径为2$\sqrt{3}$+3．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．解决（1）小题的关键是证明OD∥BC．