Question

16．如图，正方形ABCD的边长为2cm，以边BC为直径作半圆O，点E在AB上，且AE=1.5cm，连接DE．
（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明情况；
（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）过点O作OF⊥DE，垂足为点F，在Rt△ADE中利用勾股定理计算出DE=2.5，再利用面积法求出OF=1，然后根据切线的判定方法可判断DE与半圆O相切；
（2）利用阴影部分的面积=梯形BECD的面积-半圆的面积求解．

解答 解：（1）DE与半圆O相切．理由如下：
过点O作OF⊥DE，垂足为点F，
在Rt△ADE中，∵AD=2，AE=1.5，
∴DE=$\sqrt{{2}^{2}+1．{5}^{2}}$=2.5，
∵S_{四边形BCDE}=S_△DOE+S_△BOE+S_△CDO，
∴$\frac{1}{2}$（0.5+2）×2=$\frac{1}{2}$×2.5•OF+$\frac{1}{2}$×1×0.5+$\frac{1}{2}$×1×2，
∴OF=1，
∵OF的长等于圆O的半径，OF⊥DE，
∴DE与半圆O相切；
（2）阴影部分的面积=梯形BECD的面积-半圆的面积
=$\frac{1}{2}$×（0.5+2）×2-$\frac{1}{2}$•π•1²
=$\frac{5-π}{2}$（cm²）．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．注意把不规律图形的面积的计算问题化为规则图形面积的和差的计算问题．