Question

4．如图，?ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC=60°，AB=$\frac{1}{2}$BC，连接OE．下列结论：
①∠CAD=30°
②S_?ABCD=AB•AC
③OB=AB
④OE=$\frac{1}{4}$BC 
成立的有①②④（把所有正确结论的序号都填在横线上）

Answer 1

分析 由?ABCD中，∠ADC=60°，易得△ABE是等边三角形，又由AB=$\frac{1}{2}$BC，证得①∠CAD=30°；继而证得AC⊥AB，得②S_?ABCD=AB•AC；可得OE是三角形的中位线，证得④OE=$\frac{1}{4}$BC．

解答 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，
∵AB=$\frac{1}{2}$BC，
∴AE=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=30°，故①正确；
∵AC⊥AB，
∴S_?ABCD=AB•AC，故②正确，
∵AB=$\frac{1}{2}$BC，OB=$\frac{1}{2}$BD，
∵BD＞BC，
∴AB≠OB，故③错误；
∵∠CAD=30°，∠AEB=60°，AD∥BC，
∴∠EAC=∠ACE=30°，
∴AE=CE，
∴BE=CE，
∵OA=OC，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=$\frac{1}{2}$BC，
∴OE=$\frac{1}{4}$BC．故④正确．
故答案为：①②④．

点评 此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键．