Question

6．如图，在平面直角坐标中，△AOB的三个顶点的坐标分别是A（4，4），O（0，0），B（6，0），点M是射线OB上的一动点，过点M作MN∥AB，MN与射线OA交于点N，P是AB边上的任意点，连接AM，PM，PN，BN，设△PMN的面积为S．
（1）点M的坐标为（2，0）时，求点N的坐标．
（2）当M在边OB上时，S有最大值吗？若有，求出S的最大值；若没有，请说明理由．
（3）是否存在点M，使△PMN和△ANB中，其中一个面积是另一个2倍？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由相似三角形的性质即可，
（2）由两直线平行，得到三角形相似，再由相似得到比例式，表示出NH，从而求出S的函数关系式；
（3）利用同高的两个三角形的面积比是底的比，得出MN=2AB，求出OM，得到点M的坐标．

解答 解：（1）如图，

过点N作NH⊥OB，AG⊥OB，
∵MN∥AB，
∴△OMN∽△OAB，
∴$\frac{NH}{AG}=\frac{OM}{OB}$，
∴NH=$\frac{4}{3}$，
∵点N在直线OA上，直线OA的解析式为y=x，
∴N（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）；
（2）设OM=x，∵MN∥AB，
∴S_△MNB=S_△PMN=S，
∵△OMN∽△OBA，
∴$\frac{MN}{AB}=\frac{OM}{OB}$，NH=$\frac{2}{3}$x，
∴S=$\frac{1}{2}$MB×NH=$\frac{1}{2}$（6-x）×$\frac{2}{3}$x=-$\frac{1}{3}$（x-3）²+3，
∴x=3时，S有最大值为3．
（3）假设存在，
设MN与AB之间的距离为h，
若S_△PMN=2S_△ANB，
∴$\frac{1}{2}$MN×h=2×$\frac{1}{2}$AB×h，
∴MN=2AB，
∵△OMN∽△OBA，
∴$\frac{OM}{OB}$=$\frac{MN}{AB}$=2，
∴OM=12，
∴M（12，0），
若S_△ANB=2S_△PMN，同理可得M（3，0），
∴M（12，0）或M（3，0）．

点评 本题是相似三角形的综合题，主要考查相似三角形的性质和判定，解本题的关键是由相似得出比例式$\frac{OM}{OB}$=$\frac{MN}{AB}$．