Question

3．已知直线a∥b，直线c交a、b于点A、B．
（1）AC，BD是一组同位角的平分线，试判断AC，BD的位置关系，并说明理由．
（2）若AC，BD是一组内错角的平分线，则AC∥BD．
（3）若AC、BD是一组同旁内角的平分线，试判断AC，BD的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）此题利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等．那么同位角的平分线所分得的角也相等，再根据同位角相等，两直线平行的判定就可证明；
（2）此题利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等．那么内错角的平分线所分得的角也相等，再根据内错角相等，两直线平行的判定就可证明；
（3）此题利用平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．那么同旁内角的平分线所分得的角互余，再根据三角形的内角和即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，AC∥BD，
∵直线a∥b，
∴∠MAE=∠ABF，
∵AC平分∠MAE，BD平分∠ABF，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠MAE，∠2=$\frac{1}{2}$∠ABF，
∴∠1=∠2，
∴AC∥BD；

（2）如图2，AC∥BD，
∵直线a∥b，
∴∠BAE=∠ABF，
∵AC平分∠BAE，BD平分∠ABF，
∴∠1=$\frac{1}{2}$∠BAE，∠2=$\frac{1}{2}$∠ABF，
∴∠1=∠2，
∴AC∥BD；
故答案为：∥；

（3）如图3，AC⊥BD，
∵直线a∥b，
∴∠，BAE+∠ABF=180°，
∵AC平分∠MAE，BD平分∠ABF，
∴∠CAB=$\frac{1}{2}$∠BAE，∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABF，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∴AC⊥BD．

点评 本题主要考查了平行线的性质和判定，及角平分线的定义，综合利用平行线的性质及判定是解答此题的关键．