Question

14．甲经销商库存有1200千克A药材，每千克进价400元，每千克售价500元，一年内可卖完，现市场流行B药材，每千克进价300元，每千克售价600元，但一年内只允许经销商一次性订购B药材，一年内B药材销售无积压，因甲经销商无流动资金可用，只有低价转让A药材，用转让来的资金购进B药材，并销售，经与乙经销商协商，甲、乙双方达成转让协议，转让价格y（元/千克）与转让数量x（千克）之间的函数关系式为y=-$\frac{1}{10}$x+360（100≤x≤1200），若甲经销商转让x千克A药材，一年内所获总利润为W（元）．
（1）求转让后剩余的A药材的销售款Q₁（元）与x（千克）之间的函数关系式；
（2）求B药材的销售款Q₂（元）与x（千克）之间的函数关系式；
（3）求W（元）与x（千克）之间的函数关系式，并求W的最大值．

Answer 1

分析 （1）直接根据销售款=售价×千克数即可得出结论；
（2）根据转让价格y（元/千克）与转让数量x（千克）之间的函数关系式为y=-$\frac{1}{10}$x+360（100≤x≤1200）得出总件数，再与售价相乘即可；
（3）把（1）（2）中的销售款相加再减去成本即可．

解答 解：（1）∵甲经销商库存有1200千克A药材，每千克售价500元，转让x千克给乙，
∴Q₁=500×（1200-x）=-500x+600000（100≤x≤1200）；
（2）∵转让价格y（元/千克）与转让数量x（千克）之间的函数关系式为y=-$\frac{1}{10}$x+360（100≤x≤1200），B药材，每千克进价300元，
∴转让后购买B服装的千克数=$\frac{x•（-\frac{1}{10}x+360）}{300}$，
∴Q₂=$\frac{x•（-\frac{1}{10}x+360）}{300}$×600=-$\frac{1}{5}$x²+720x（100≤x≤1200）；
（3）∵由（1）、（2）知，Q₁=-500x+600000，Q₂=-$\frac{1}{5}$x²+720x，
∴W=Q₁+Q₂-400×1200=-500x+600000-$\frac{1}{5}$x²+720x-480000=-$\frac{1}{5}$（x-550）²+180500，
当x=550时，W有最大值，最大值为180500元．

点评 本题考查的是二次函数的应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．