定义:对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M.在△MPQ中.当PQ边上的高为2时.称M为PQ的“等高点 .称此时MP+MQ为PQ的“等高距离．．①在点A(1.0).B.C(0.3)中.PQ的“等高点是A.B,②若M(t.0)为PQ的“等高点 .求PQ的“等高距离的最小值及此时t的值．.PQ=2.当PQ的“等高点在y轴正半轴上且“等高距离最小时.直接写出� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．

定义：对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．
（1）若P（1，2），Q（4，2）．
①在点A（1，0），B（$\frac{5}{2}$，4），C（0，3）中，PQ的“等高点”是A、B；
②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值．
（2）若P（0，0），PQ=2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接写出点Q的坐标．

分析（1）根据“等高点”的概念解答即可；
（2）①先确定出点P关于x轴的对称点P′，再根据最短路径的求法即可确定最小距离；②先证明“等高距离”最小时△MPQ为等腰三角形，再利用勾股定理求出点Q坐标即可．

解答解：（1）①∵P（1，2），Q（4，2），
∴在点A（1，0），B（$\frac{5}{2}$，4）到PQ的距离为2．
∴PQ的“等高点”是A、B，
故答案为：A、B；
②如图1，作点P关于x轴的对称点P′，连接P′Q，P′Q与x轴的交点即为“等高点”M，此时“等高距离”最小，最小值为线段P′Q的长．
∵P （1，2），
∴P′（1，-2）．

设直线P′Q的表达式为y=kx+b，
根据题意，有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-2}\\{4k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{10}{3}}\end{array}\right.$．

∴直线P′Q的表达式为$y=\frac{4}{3}x-\frac{10}{3}$．
当y=0时，解得$x=\frac{5}{2}$．
即$t=\frac{5}{2}$．
根据题意，可知PP′=4，PQ=3，PQ⊥PP′，
∴$P'Q=\sqrt{PP{'^2}+P{Q^2}}=5$．
∴“等高距离”最小值为5．
（2）如图2，过PQ的“等高点”M作MN⊥PQ于点N，

∴PQ=2，MN=2．
设PN=x，则NQ=2-x，
在Rt△MNP和Rt△MNQ中由勾股定理得：
MP²=2²+x²=4+x²，MQ²=2²+（2-x）²=x²-4x+8，
∴MP²+MQ²=2x²-4x+12=2（x-1）²+10，
∵MP²+MQ²≤（MP+MQ）²，
∴当MP²+MQ²最小时MP+MQ也最小，此时x=1，
即PN=NQ，
∴△MPQ为等腰三角形，
∴MP=MQ=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$，
如图3，设Q坐标为（x，y），过点Q作QE⊥y轴于点E，

则在Rt△MNP和Rt△MNQ中由勾股定理得：
QE²=QP²-OE²=2²-y²=4-y²，$Q{E}^{2}=Q{M}^{2}-M{E}^{2}=（\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{5}-y）^{2}$=$2\sqrt{5}y-{y}^{2}$，
∴4-${y}^{2}=2\sqrt{5}y-{y}^{2}$．
解得y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
$Q{E}^{2}=4-{y}^{2}=4-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}=\frac{16}{5}$，
当点Q在第一象限时x=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，当点Q在第二象限时x=-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴Q（$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$）或Q（$-\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$）．