Question

19．如图，矩形ABCD中，BC=1，连接AC与BD交于点E₁，过E₁作E₁F₁⊥BC于F₁，连接AF₁交BD于E₂，过E₂作E₂F₂⊥BC于F₂，连接AF₂交BD于E₃，过E₃作E₃F₃⊥BC于F₃，…，以此类推，则BF_n（其中n为正整数）的长为（　　）

• A． $\frac{n}{n+1}$
• B． $\frac{1}{n+1}$
• C． $\frac{n+1}{n+2}$
• D． $\frac{n+1}{n+3}$

Answer 1

分析 此题分别运用矩形的性质和平行线分线段长比例定理，得到BF₁、BF₂、BF₃的长；根据求得的线段的长，发现规律，即可求得BF_n（其中n为正整数）的长．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC、BD相等且互相平分，
∴AE₁=E₁C，
∵E₁F₁⊥BC，
∴E₁F₁∥DC∥AB，
∴$\frac{B{F}_{1}}{BC}$=$\frac{B{E}_{1}}{BD}$=$\frac{E{{\;}_{1}F}_{1}}{DC}$=$\frac{1}{2}$
∵BC=1，
∴BF₁=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{E}_{2}{E}_{1}}{B{E}_{2}}$=$\frac{{E}_{1}{F}_{1}}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∵E₂F₂⊥BC，
∴E₂F₂∥DC∥AB∥E₁F₁，
∴$\frac{B{F}_{2}}{BC}$=$\frac{B{E}_{2}}{BD}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
∴BF₂=$\frac{1}{3}$
同理求得BF₃=$\frac{1}{4}$，
…，
以此类推，则BF_n=$\frac{1}{n+1}$；
故选B．

点评 考查了矩形的性质，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．解决本题的关键是根据矩形的性质以及平行线分线段长比例定理求得BF₁、BF₂、BF₃的长；根据求得的线段的长，发现规律．