Question

已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE=∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）证明B、C、E、D四点共圆，得到∠ADE=∠ACB，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线，证明EM=EF；由sinα=

ME

DE

，sinα=

EF

EC

，得到

ME

DE

=

EF

EC

，根据ME=EF，即可解决问题．

解答：（1）证明：∵∠ABE=∠ACD，
∴B、C、E、D四点共圆，
∴∠ADE=∠ACB，而∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC．
（2）解：过点E作EM⊥AB，EF⊥BC；
∵BE平分∠ABC，
∴EM=EF；设∠ADE=∠ACB=α，
则sinα=

ME

DE

，sinα=

EF

EC

，
∴

ME

DE

=

EF

EC

，而ME=EF，
∴DE=CE．

点评：该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；应牢固掌握相似三角形的判定及其性质、四点共圆的判定等几何知识点．