Question

已知直线L₁：y=

3

4

x+3和直线L₂：y=-2x+2．
（1）在坐标系中画出它们的图象；
（2）求这两条直线与x轴围成的三角形的面积；
（3）设直线L₂ ：y=-2x+2与x轴交于点A，等腰直角△ABC的一个顶点B在直线L₁：y=

3

4

x+3上，另一个顶点C在x轴上（C在A左边），直接写出C点的坐标．

Answer 1

考点：两条直线相交或平行问题

专题：计算题

分析：（1）先根据坐标轴上点的坐标特征求出两直线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出两条直线；
（2）利用两直线相交的问题，通过解方程组

y= 3 4 x+3 y=-2x+2

得到两直线的交点P的坐标，然后根据三角形面积公式求解；
（3）分类讨论：当∠ACB=90°时，如图1，设C（t，0），则B（t，

3

4

t+3），根据等腰直角三角形的性质得AC=BC，即

3

4

t+3=1-t，解得t=-

8

7

，于是可得此时C点坐标；当∠ABC=90°时，如图2，作BH⊥AC于H，根据等腰三角形的性质得AH=CH，设C（t，0），则H点坐标为（

t+1

2

，0），所以B（

t+1

2

，

3

8

t+

27

8

），再根据等腰直角三角形的性质得BH=

1

2

AC，即

3

8

t+

27

8

=

1

2

（1-t），解得t=-

31

7

，于是可得此时C点坐标；当∠CAB=90°时，如图3，当x=1时，y=

3

4

x+3=

15

4

，根据等腰直角三角形的性质得AC=AB=

15

4

，再计算出OC=AC-OA=

11

4

，于是可得此时C点坐标．

解答：解：（1）当x=0时，y=

3

4

x+3=3；当y=0时，

3

4

x+3=0，解得x=-4，则直线y=

3

4

x+3与x轴的交点坐标为（-4，0），与y轴的交点坐标为（0，3），

同理可得直线y=-2x+2与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，2），
如图；


（2）解方程组

y= 3 4 x+3 y=-2x+2

得

x=- 4 11 y= 30 11

，则两直线的交点P的坐标为（-

4

11

，

30

11

），
所以这两条直线与x轴围成的三角形的面积=

1

2

×（1+4）×

30

11

=

75

11

；
（3）当∠ACB=90°时，如图1，设C（t，0），则B（t，

3

4

t+3），

∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=BC，
即

3

4

t+3=1-t，解得t=-

8

7

，
此时C点坐标为（-

8

7

，0）；
当∠ABC=90°时，如图2，作BH⊥AC于H，则AH=CH，
设C（t，0），则H点坐标为（

t+1

2

，0），所以B（

t+1

2

，

3

8

t+

27

8

），

∵△ABC为等腰直角三角形，
∴BH=

1

2

AC，
即

3

8

t+

27

8

=

1

2

（1-t），解得t=-

31

7

，
此时C点坐标为（-

31

7

，0）；
当∠CAB=90°时，如图3，

当x=1时，y=

3

4

x+3=

15

4

，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC=AB，
即AC=

15

4

，
∴OC=AC-OA=

11

4

，
此时C点坐标为（-

11

4

，0），
综上所述，C点坐标为（-

31

7

，0）或（-

8

7

，0）或（-

11

4

，0）．

点评：本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．