Question

如图，平行四边形ABCD中，点E为AB边上一点，连接DE，点F为DE的中点，且CF⊥DE，点M为线段CF上一点，使DM=BE，∠DCM=

1

3

∠DMF．
（1）若AB=13，DE=10，求CF的长度；
（2）求证：CM=BC．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）根据平行四边形的对边相等得出CD=AB=13，由F为DE中点，得出DF=

1

2

DE=5，然后在直角△DCF中利用勾股定理即可求出CF的长度；
（2）连接CE，根据∠DCM=

1

3

∠DMF，推出∠CDM=2∠DCM，根据CF⊥DE，F为DE中点，推出CD=CE，∠CDF=∠CEF，根据平行线的性质得出∠CDF+∠BEF=180°，进而推出推出∠CEB=2∠DCM，从而证得∠CDM=∠CEB，即可证得△CDM≌△CEB，推出CM=BC．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=13，
∵F为DE中点，
∴DF=

1

2

DE=5，
∵CF⊥DE，
∴CF=

CD2-DF2

=

132-52

=12；
                                            
（2）连接CE，
∵∠DCM=

1

3

∠DMF．
∴∠DMF=∠CDM+∠DCF=3∠DCM，
∴∠CDM=2∠DCM，
∵AB∥CD，
∴∠CDF+∠BEF=180°，
∴∠CDF+∠CEF+∠CEB=180°
∵CF⊥DE，F为DE中点，
∴CD=CE，∠CDF=∠CEF，
∴2∠CDF+∠CEB=180°，
∵∠CDF=90°-∠DCM，
∴∠CEB=2∠DCM，
∴∠CDM=∠CEB
在△CDM和△CEB中，

DM=EB ∠CDM=∠CEB DC=EC

，
∴△CDM≌△CEB（SAS），
∴CM=BC．

点评：本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．