Question

已知函数y=x²-（m²+4）x-2m²-12．
（1）当m取何值时，此函数有最小值-

81

4

，求出此时x的值；
（2）求证：不论m取任何实数，抛物线都过一定点，并求出定点坐标．

Answer 1

考点：二次函数的最值,二次函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）根据函数顶点的纵坐标是函数的最小值，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值，根据函数顶点的坐标公式，可得函数定点的横坐标；
（2）根据因式分解，可得交点式函数解析式，根据交点坐标，可得答案．

解答：（1）解：y_最小=

4ac-b2

4a

=

4(-2m2-12)-[-(m2+4)]2

4

=-

81

4

，
m⁴+16m²-17=0
（m²-1）（m²+17）=0
∵m²+17≠0，
∴m=±1，
∴y=x²-5x-14
x=-

b

2a

=-

-5

2

=

5

2

，
当m=±1时，此函数有最小值-

81

4

，此时x=

5

2

；
（2）证明：∵此函数可以写成y=（x+2）•[x-（m²+6）]，
∴函数与x轴的交点为（-2，0），（m²+6，0），
∴不论m取任何实数，抛物线都过一定点，定点坐标是（-2，0）．

点评：本题考查了函数的最值，利用了函数的顶点的纵坐标是函数的最小值．