Question

7．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接OC，证明OC∥AE．由此可得∠CAD=∠OCA，再证明∠OCA=∠OAC即可．
（2）因为：证明△PCA与△PBC相似，由其性质可推出AB与PB的数量关系．

解答 （1）证明：连接OC．如下图所示：

∵PE与⊙O相切，
∴OC⊥PE．
∴∠OCP=90°．
∵AE⊥PE，
∴∠AEP=90°=∠OCP．
∴OC∥AE．
∴∠CAD=∠OCA．
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC．
∴∠CAD=∠OAC．
∴AC平分∠BAD．
（2）PB，AB之间的数量关系为AB=3PB．理由如下：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠BAC+∠ABC=90°．
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC．
∵∠PCB+∠OCB=90°，
∴∠PCB=∠PAC．
∵∠P=∠P，
∴△PCA∽△PBC．
∴PC²=PB•PA．
∵PB：PC=1：2，
∴PC=2PB．
∴PA=4PB．
∴AB=3PB．

点评 本题考查了切线的性质与相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解圆的切线的性质与综合各知识点联系．