Question

2．如图，点D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．（1）判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求∠BEC的正切值．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证明OD⊥CE，所以需证明∠CDA+∠ODA=90°；
（2）根据已知条件在Rt△CDO中，由勾股定理求得：CD=4，又CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，由切线长定理得DE=EB，设DE=EB=x，在Rt△CBE中，由勾股定理得：CE²=BE²+BC²，则  （a+x）²=x²+（5+3）²，解得：x=6，即  BE=6，然后由正切函数的定义解得∠BEC的正切值．

解答 解：（1）直线CD与⊙O的位置关系是相切．
理由：
连接OD，如图所示：

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∵∠CDA=∠CBD，
∴∠DAB+∠CDA=90°，
∵OD=OA，
∴∠DAB=∠ADO，
∴∠CDA+∠ADO=90°，
 即：OD⊥CE，
∴直线CD 是⊙O的切线．
即：直线CD 与⊙O的位置关系是相切．
（2）∵AC=2，⊙O的半径是3，
∴OC=2=3=5，OD=3，
在Rt△CDO中，由勾股定理得：CD=4．
∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，
∴DE=EB，∠CBE=90°，
设DE=EB=x，
在Rt△CBE中，有勾股定理得：CE²=BE²+BC²，
则  （a+x）²=x²+（5+3）²，
解得：x=6，
即  BE=6，
∴tan∠BEC=$\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$，
即：tan∠BEC=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质、直线与圆的位置关系、解直角三角形，解题的关键是①掌握直线与圆的三种位置关系及其判定方法，②掌握圆的切线的性质及勾股定理的应用、正切函数的定义．